Geometria non euclidea

Forse meno popolare di altre rivoluzioni scientifiche, quella delle geometrie non euclidee è però legata ad altre meglio conosciute, almeno di nome. Ha un nesso stretto con la teoria della relatività generale di Einstein, per esempio. Più importante, la maniera in cui la comunità scientifica pensa oggi alla "geometria" è figlia della rivoluzione non euclidea. Avendo fatto di recente delle letture in merito, per ragioni di lavoro, ho imparato qualcosa di questa storia.
TESI. La teoria ortodossa. In principio c'è la Geometria, che è poi la teoria maturata tra Medio Oriente e Grecia classica per venir infine mirabilmente organizzata da Euclide (attivo ad Alessandria d'Egitto, a cavallo tra IV e III sec. a.C.) nel suo fortunatissimo libro, gli Elementi. La geometria del piano, per Euclide, s'incardina su pochi principi che, per accorciarne l'esposizione, enuncio in termini moderni (ottocenteschi):
(i) per due punti di un piano passa una e una sola retta;
(ii) ogni retta divide il piano in due parti;
(iii) le figure possono essere mosse "liberamente" nel piano: ruotate attorno a un punto, trascinate da una regione all'altra del piano;

(iv) se c è una retta nel piano e se P è un punto che sta al di fuori di essa, allora esiste un'unica retta b passante per P che è parallela a c.
L'elemento fuori posto. Lo stesso Euclide considerava l'affermazione (iv) (che negli Elementi appare come V Postulato) come sgradevole. Prima di introdurla, infatti, dimostra a partire da (i), (ii) e (iii) un gran numero di teoremi che non richiedono di dare (iv) per scontato. Il motivo per cui (iv) (o meglio, una proprietà ad esso equivalente) veniva considerata poco naturale è che i postulati (le affermazioni che si danno per vere senza dimostrazione) dovevano avere una chiara evidenza, vuoi empirica, vuoi ideale (vuoi aristotelica, vuoi platonica). Il V postulato, poiché richiede, per essere verificato, di considerare le rette nella loro interezza (per verificare se siano o meno parallele; cioè se si incontrino o meno), pareva non possedere questo requisito.
Per più di duemila anni vi furono tentativi di dimostrare il V postulato a partire dalle proprietà (i)-(iii). Si giunse abbastanza in fretta a concludere che, valendo (i)-(iii), almeno una parallela a c che passi per P ci deve essere. Il problema era mostrare che fosse anche unica. Provarono e fallirono, assai brillantemente, greci, latini, arabi ed europei.
Due secoli di geometria fantastica. Le dimostrazioni avevano più o meno tutte la stessa idea di partenza. Si supponeva che il V postulato fosse falso, che, cioè, per P passassero due rette parallele alla retta c. Si cercava poi di arrivare a una qualche contraddizione con le affermazioni (i)-(iii): si sarebbe così dimostrato che, se si volevano salvare (i)-(iii), non si poteva negare (iv). Cioè, (iv) è conseguenza di (i)-(iii).
Bene, negando (iv) alcuni matematici, più e meno professionali, arrivarono a delle vere e proprie mostruosità, a delle geometrie deformi e inaccettabili. E' a partire dal '600 che questo tipo di analisi inizia ad andare veramente a fondo. Quello che va più a fondo di tutti è padre Gerolamo Saccheri (Sanremo, 5 settembre 1667 – Milano, 25 ottobre 1733), gesuita e matematico. Alcune delle conseguenze che Saccheri e altri dedussero dalla negazione del V postulato sono:
(o) la somma degli angoli di un triangolo è sempre inferiore (!) a due angoli retti [Saccheri];
(a) due triangoli con i lati in proporzione sono uguali, o hanno anggoli diversi (non è possibile, cioè, ridurre un triangolo a una scala più piccola o ingrandirlo a una scala più grande!) [Saccheri];
(b) l'area di un triangolo non può superare un certo limite (finito!);
(c) dati tre punti A, B , C non allineati, non è detto che si possa far passare una circonferenza per essi.
Mostruosità dopo mostruosità, Saccheri giunse a una conclusione che gli parve "ripugnare alla natura della linea retta," e decise che lì finiva la sua opera. Probabilmente non ci credeva ed era insoddisfatto, non avendo trovato, tra tante bizzarrie, una contraddizione vera e propria. Padre Saccheri era infatti un matematico rigorosissimo.
ANTITESI. Rivoluzione! Indipendemente uno dall'altro, ma probabilmente influenzati (indirettamente) da Sccheri, un matematico russo, Nikolaj Lobachevsky (Nižnij Novgorod, 1 dicembre 1792 – Kazan', 24 febbraio 1856), e uno ungherese, Jàanos Bolyai (Cluj-Napoca, 15 dicembre 1802 – Târgu Mureş, 27 gennaio 1860), rovesciarono i termini della questione. Partirono dall'ipotesi che il V postulato di Euclide fosse falso e costruirono, in base a questa affermazione (e a (i)-(iii)) tutta una geometria non euclidea (quella oggi chiamata iperbolica); per alcuni versi simile, per altri del tutto difforme da quella classica e prestigiosa di Euclide. I mostri di Saccheri e di altri matematici diventavano così teoremi della nuova e barricadera geometria. Anche il più grande matematico di tutti i tempi, Carl Friedrich Gauss (Braunschweig, 30 aprile 1777 – Gottinga, 23 febbraio 1855) aveva mentalmente costruito la geometria non euclidea, ma non aveva pubblicato niente, per paura delle possibili polemiche, e anche i suoi numerosi taccuini non contengno uno sviluppo completo della teoria.
La decisione su quale geometria fosse quella vera sarebbe forse spettata a questo punto agli astronomi, che avrebbero potuto cercare nell'universo grandi triangoli i cui angoli sommassero meno di due angoli retti.
In realtà, tra i pochi matematici che considerarono i lavori di Bolyai e Lobachevsky, la più parte erano convinti che, negando il V postulato di Euclide, si sarebbe fatalmente prodotta qualche contraddizione; come aveva sperato del resto padre Saccheri con un gran numero di scienziati d'ogni epoca.
Non euclideo è meglio? Una delle caratteristiche più notevoli dell nuova geometria era la presenza di lunghezze assolute. E' noto che nella geometria ordinaria, euclidea, non esistono lunghezze assolute. Per questo usiamo un'unità di lunghezza convenzionale come il metro (1/40.000.000 della circonferenza terrestre all'equatore). Se la geometria fosse non euclidea, invece, delle lunghezze "assolute", cioè intrinseche allo spazio stesso (non scelte ad arbitrio), esisterebbero. Per esempio, ci sarebbe un limite massimo al raggio della circonferenza che si può iscrivere in un triangolo. Queste grandezze assolute, che diventerebbero unità di misura assolute, sono un pò il Graal dei ricercatori, dei fisici in particolari. La carica dell'elettrone e la velocità della luce sono esempi abbastanza popolarizzati. Se dell'universo c'interessa la sola Terra, allora la circonferenza della Terra all'equatore sarebbe una buona unità di misura assoluta. Ma gli umani, animali curiosi e inquieti, non s'accontentano della Terra soltanto, che hanno con Copernico escluso da ogni ruolo protagonista.
Le lunghezze assolute della geometria non euclidea sono legate alla nozione di curvatura dello spazio e, come il nome può forse suggerire, si apre qui il sentiero verso la relatività generale (e i motori dell'Enterprise in Star Trek).
Riflusso. Idealmente, si avevano due teorie contrapposte, quella euclidea e quella non euclidea, pronte a scontrarsi in campo aperto. La posta: la descrizione dello spazio. Lo spazio fisico, quello della meccanica newtoniana; ma anche lo spazio filosofico, quello che Immanuel Kant aveva stabilito, nel secolo precedente, come uno degli a priori della Ragione Pura. La realtà fu più modesta. Le geometrie non euclidee passarono quasi inosservate, la comunità matematica, scientifica e filosofica, saldamente euclidee, non si scossero più che tanto. Il conflitto si spense prima di iniziare e Lobachevsky e Bolyai precipitarono in un veloce oblio.
SINTESI. La nascita della geometria moderna. In realtà, il riflusso non era stato così completo. Bernhard Riemann (Breselenz, 17 settembre 1826 – Selasca, 20 luglio 1866), uno dei più profondi matematici di sempre, nella sua tesi d'abilitazione del 1854, su titolo indicato dallo stesso Gauss, aveva rivoltato la geometria dalla testa ai piedi. Partendo da idee che non erano solo matematiche, ma anche fisiche e filosofiche, aveva ampliato l'orizzonte da una geometria (la geometria, euclidea o meno che fosse) a un'infinita moltitudine di geometrie, tutte da tenere in considerazione; vuoi per aggiornare la descrizione dello spazio al mutare delle conoscenze scientifiche, ma anche per una molteplicità di altri utilizzi (per cui, infatti, tutte queste geometrie riemanniane vengono oggi utilizzate). Casi particolarissimi delle geometrie di Riemann erano quella euclidea e quella non euclidea.
Beltrami: il V postulato non è dimostrabile dagli altri. La tesi di Riemann fu pubblicata postuma nel 1866 ed ebbe prima d'allora scarsa eco. Eugenio Beltrami (Cremona, 16 novembre 1836 – Roma, 18 febbraio 1900), prima che dalla tesi di Riemann, fu influenzato dalla pubblicazione dei taccuini di Gauss, che lo spinsero a cercare dei "modelli concreti" della geometria non euclidea. Ciò fece in due articoli assai influenti sulla geometria a venire, pubblicati nel 1867 (sotto il segno di Gauss) e 1868 (sotto il segno di Riemann).
Beltrami inventò in effetti tre modelli, uno dei quali sviluppava una breve formula di Riemann. E' quello che sta all'origine della stampa di Escher che trovate qui sotto. Descrivo brevemente il modello. Il "piano" è l'interno di un disco di raggio uno. Le "rette" sono sgmenti di retta o archi di circonferenza che sono perpendicolari al bordo del disco. Basta fare un paiodi disegni per vedere che, in questa interpretazione, le proprietà (i) e (ii) valgono, mentre la proprietà (iv), il V postulato di Euclide, non vale. Per verificare la proprietà (iii) bisogna parlare di movimenti "rigidi", che conservano le distanze tra punti di una figura; quindi di distanza tra punti. Questo è un pò più tecnico e va la di là di un post che non vuol essere matematico. Basti, per avere un'idea, sapere che gli uccelli che Escher ha disegnato nel disco hanno, rispetto alla "distanza di Beltrami", esattamente le stesse dimensioni. Ai nostri occhi euclidei, che guardano al piano non euclideo di Beltrami da fuori, essi hanno invece dimensioni via via più piccole, mano a mano che vanno verso il bordo.
Ora, chiunque creda nella geometria euclidea (che ci dà il disco, gli archi e i segmenti) e sappia fare due conti con la distanza di Beltrami, può verificare che, all'interno del piano euclideo, abbiamo una famiglia di curve che verifica tutti i postulati della geometria non euclidea. Quindi, la geometria non euclidea non conduce a contraddizioni! (A meno che non sia la stessa geometria euclidea a essere contraddittoria, ciò che, ai tempi di Beltrami, nessuno credeva possibile).
In particolare, possiamo negare il V postulato di Euclide senza trovare mai nulla di assurdo: i tentativi di padre Saccheri, pur così fruttuosi in altro modo, erano in definitiva destinati al fallimento.
Il lavoro di Beltrami, in qualche modo, spostò completamente il centro del dibattito su euclideo/non euclideo. Entrambe le geometrie sono ugualmente coerenti e senza difetto logico: simul stabunt vel simul cadent. Il dibattito su quale delle due fosse la migliore e la più vera, quindi, non riguardava più la matematica; ma la filosofia, la fisica, la neurofisiologia. Infatti, a tutt'oggi c'è in queste discipline un continuo dibattito sulla geometria del cosmo (è ancora euclidea, alle scale ora osservabili), sulla geometria della Ragion Pura (e qui i filosofi guadagnano il loro stipendio disaccordandosi), sulla geometria con cui il nostro cervello percepisce e ordina il mondo là fuori, di per sé caotico e inconoscibile.

PS Una proprietà della geometria non euclidea è che l'area dei cerchi cresce esponenzialmente col raggio (non solo col quadrato del raggio, come fanno modestamente i cerchi euclidei). Ciò torna utila a tutti quegli organismi che, come i coralli, hanno bisogno di esporre alla corrente grandi superfici, utilizzando poco volume. La formazione corallina dell'immagine che apre il post è, geometricamente parlando, un puzzle di frammenti di piano non euclideo, che in poco raggio sviluppano tanta superficie.

Statistica e verità II

Lo scaltro Shakuni, dei Kauravi, con un dado truccato spoglia Yudhishtira di ogni bene, diritto e libertà; costringendo così il clan dei Pandava all'esilio. (Dal Mahabharata di Peter Brook).

Ecco qui alcuni commenti e considerazioni sulle situazioni di cui scrivevo nel primo post "statistico".

(1) Passaggi pedonali: io sceglierei, in assenza di ulteriori ragioni, di passare dove ci sono stati meno incidenti. Il senso comune, che ci guida nella vita quotidiana, è anche in questo caso un buon consigliere;... (5)... ci si chiede dunque come mai delle persone che, attraversando una strada, scelgono quella storicamente più sicura, quando giocano al Lotto vanno a caccia dei numeri "ritardatari". Infatti, o il gioco è onesto (e allora, alla prossima estrazione, il 77 vale come il 24 o come qualunque altro numero); o è disonesto, allora sorge il sospetto che -che so- il 77 sia stato escluso dall'urna (o più sottile imbroglio, come è avvenuto in passato), quindi è meglio non giocarlo.
Per fare un esempio più radicale, se la moneta del prestigiatore dà esito Croce per dieci lanci consecutivi, pensate che "ora è il turno di Testa", o che la moneta ha Croce su entrambe le facce? (Dietro il comportamento anti-razionale di tanti giocatori del Lotto c'è una distorta lettura della Legge dei Grandi Numeri, che tutto può dire, tranne che l'urna -notoriamente inconsapevole- ricordandosi delle passate estrazioni abbia un sussulto egualitario e aiuti il 77a uscire. Meglio confidare nei sogni, a questo punto.)
Anche (3) è una variazione sullo stesso tema. Se dado e lanciatore sono onesti, tutti i numeri avranno la stessa possibilità di uscire (con uguale probabilità) alla prossima estrazione. Certo, il dado potrebbe essere truccato. Memori dei passaggi pedonali, dagli esiti passati si direbbe che il dado sia truccato in modo da favorire 5 e 2, che (senza garanzie di onesto gioco) darei quindi per favoriti alla prossima estrazione.

Nel caso (2), quello del test medico, le cose sono leggermente meno intuitive (e i risvolti, diciamo così, civili sono ben più importanti che nel gioco del Lotto). Il dato epidemiologico dice che il leprecaunismo colpisce un individuo su 4 milioni. Questo vuol dire che, se somministrate un test che non dà mai esito positivo (un flacone d'acqua schietta), questo test fallirà in un caso circa su 4 milioni (quello del'individuo malato). Quindi, il test A -apparentemente più attendibile- potrebbe benissimo essere (e forse è) acqua schietta.
Torniamo indietro e cerchiamo di capire cosa vogliamo dal test; quali sono quindi i dati statistici che c'interessano. Noi siamo interessati a scoprire i casi di malattia con ragionevole certezza. Il dato più interessante, quindi, sarà dato dalla percentuale dei casi di malattia in cui il test, fallendo, ci dà esito negativo. Siamo invece disposti a tollerare un ragionevole numero di casi in cui il test dà esito positivo, pur in assenza di malattia. Vogliamo avere quindi due dati: percentuale di casi di malattia non rilevati come tali (il dato che vogliamo più piccolo possibile); percentuale di casi di non malattia rilevati come di malattia (un dato che vogliamo sia ragionevolmente sotto controllo). I dati che ci forniva il problema non ci danno alcun ausilio per fare la nostra scelta.
Questo esempio mi ha fatto anche riflettere sulla maniera in cui i media presentano alcuni casi di malasanità. Si presentano come ugualmente (scandalosamente) nocive diagnosi incorrette di sanità e di malattia. Il fatto è che il medico ha il compito primario (e il paziente ha l'interesse primario che il compito sia ben assolto) di trovare e debellare la malattia. Il danno maggiore proviene dal non rilevare (quindi non curare) la patologia: il danno psicologico di una (temporanea) diagnosi di malattia, in realtà inesistente, esiste, ma è di ordine inferiore rispetto al primo.

Nel caso (6), correrei a vedere le ragioni dello scambio euro-dollaro nell'anno precedente al discorso del monarca. Non sarei stupito di scoprire che il dollaro s'è deprezzato (o l'euro apprezzato) della misura indicata dal re. (L'esempio è preso dalla realtà: un importante leader europeo, effettivamente, fece quel discorso durante la piccola stagnazione del 2004-5).

Il caso (4) punta verso un indicatore diverso dalla semplice media: c'immette nel discorso sulla varianza. Non sarei stupito di trovare delle piccole scuole tra le peggiori, come tra le migliori.
Qualitativamente, e in un esempio con meno parametri, il ragionamento è questo. Immaginate di avere un gran numero di biglie (cento, per esempio), ugualmente divise in bianche e nere. Sistematele casualmente in delle urne, ciascuna delle quali contiene un piccolo numero di biglie (diciamo quattro). Non vi stupirà scoprire che alcune delle urne, del tutto casualmente, contengono solo biglie nere (il 100% delle biglie nell'urna sono nere), mentre altre conterranno solo biglie bianche.
Sistemate ora le stesse biglie in delle urne assai più grandi (per esempio, quattro urne, ciascuna delle quali può contenere venticinque biglie). Assai difficilmente un'urna conterrà biglie dello stesso colore. In nessuna urna, a meno di casi estremamente improbabili, ci saranno solo biglie nere.
Se facciamo la classifica delle urne in base alla percentuale delle biglie nere contenute, nelle prime posizioni (ma anche nelle ultime!) troveremo delle urne piccole. Quelle grandi (per la "legge dei grandi numeri", infatti) saranno perlopiù in mezzo alla classifica.
La morale è: diffidare dei discorsi pregiudiziali del tipo "piccolo è bello" (ma anche di quelli "piccolo è brutto"). Piccolo sarà bello (o brutto), ma non in base al tipo di dato che avevo presentato per questo caso.
(La teoria delle probabilità quantifica esattamente la diversa probabilità che hanno le urne piccole e quelle grandi di avere una certa percentuale di biglie nere; in base a pochi parametri dati).

Statistica e verità I

Alcune domande su cui si tornerà in seguito.

(1) Esistono in paese due passaggi pedonali: nel primo si sono contati diversi casi di investimento nel corso dell'ultimo anno, nell'altro no.
Quale scegliete, se dovete attraversare la strada?

(2) Siete ministri della sanità e volete adottare un test per il leprecaunismo. Il test A dà la risposta corretta (presenza o assenza della malattia) in tutti i casi, tranne che in uno su quattro milioni. Il test B, invece, fallisce in media una volta in un milione di casi. Quale test è migliore?

(3) Giocate ai dadi con un vostro amico, con un dado. I cento lanci precedenti hanno dato questi esiti:
1 (15 volte);
2 (24 volte);
3 (17 volte);
4 (8 volte);
5 (30 volte);
6 (6 volte).
Quale esito date come favorito al 101-esimo lancio?

(4) Una ricerca condotta su cento scuole trova che le prime cinque in classifica, in termine della preparazione degli studenti, sono piccole scuole con una-due sezioni; mentre le scuole più grandi tendono a essere un pò indietro rispetto a queste.
Cosa pensate di questo dato?

(5) Il numero 77 è ritardatario: non esce da sei mesi sulla ruota di Napoli.
Lo giocate la prossima settimana?

(6) Il re dell'Arcipelago della Beozia (moneta: euro) vi dice che nell'ultimo anno siete stati fortunati: in media, guadagnate il venti per cento, calcolato in dollari ("l'unica valuta seria per questi conti"); quindi, che non avete ragione (in media) di lamentarvi perché l'economia va molto meglio di quanto voi non percepiate.
Qual'è il primo dato che andate a controllare su Internet dopo aver sentito il discorso reale?

L'Unità d'Italia in un personaggio: Vito Volterra II

Dicevo di un rapporto incrinato tra italiani e monarchia, ma avrei dovuto dire di un rapporto incrinato tra gli italiani e l'élite liberale, di cui Volterra faceva parte a tutti gli effetti. La Grande Guerra, in Italia come nel resto d'Europa, ha accelerato alcuni processi (la politica di massa), ne ha innescati altri (la rivoluzione comunista in Russia, che sarebbe stato uno dei principali -e tragici- motori per la storia del secolo; la crisi degli imperi coloniali, le cui madrepatrie si trovano ora pesantemente indebitate), ha chiuso alcuni antichi capitoli europei (la fine dell'impero austroungarico e, con esso, delle ultime vestigia giuridiche del sacro romano impero; la fine, diversamente traumatica, dell'impero zarista).
Era uscito di scena Giolitti, che da conservatore (intelligente) e monarchico (scettico), aveva cercato di porre in equilibrio (in parte annullandole) le spinte delle neopoliticizzate masse cattoliche e socialiste sotto l'egemonia liberale. Nelle trincee e nei reparti d'assalto erano maturate nuove aggregazioni: l'Italia borghese, entrò in guerra, per così dire, disincantata e ancora gozzaniana, ne uscì vacuamente retorica e dannunziana. Il re e gran parte dei liberali si schierarono con Mussolini, che, senza che il primo avesse niente da dire, si sarebbe disfatto dei secondi. (Volterra, però, fu sempre nel gruppo dei liberali avversi al fascismo).
Volterra, nel frattempo, si occupava della scienza e della sua organizzazione. Dal 1919 si sforza di far istituire una sezione italiana del Consiglio Internazionale delle Ricerche, che sarà chiamata infatti Consiglio Nazionale delle Ricerche (CNR): vi riesce nel 1923, diventandone anche il primo presidente.
Nel 1925 Giovanni Gentile fa pubblicare il Manifesto degli Intellettuali Fascisti, che dovrebbe fare una sintesi delle basi culturali e ideologiche del fascismo. Serve anche, all'idomani del sequestro e assassinio del deputato socialista Matteotti, a riprendere il controllo dell'immagine del fascismo all'esterno dell'Italia. Su invito di Giovanni Amendola, Benedetto Croce scrive un Manifesto degli Intellettuali Anti-Fascisti, che esce simbolicamente il primo maggio dello stesso anno, con la firma di numerosi intellettuali e scienziati, tra cui Vito Volterra. (Il matematico Salvatore Pincherle, di poco più vecchio di Volterra, con simili interessi scientifici e, come Volterra, nato in una famiglia ebrea, aveva invece firmato il manifesto gentiliano).
E' anche per la sua opposizione al fascismo tranquilla e istituzionale, ma senza nessun cedimento, che Volterra viene sostituito nel 1927 alla guida del CNR da Marconi: il più fascista tra i grandi scienziati italiani (o il più grande tra gli scienziati fascisti). Nel 1931 è uno dei quattordici docenti universitari che rifiutano il giuramento di fedeltà al fascismo e viene quindi allontanato dall'università e da gran parte delle cariche che ricopriva nelle istituzioni scientifiche italiane. Il regime lo sottopone anche a sorveglianza, in Italia e all'estero. Diventa quindi scientificamente apolide, passando gran parte del tempo a Parigi e in altri centri scientifici mondiali.
Nel 1938, con le leggi razziali, viene espulso dalle ultime istituzioni scientifiche di cui are membro in Italia:
”...a datare dal 16 ottobre u.s. avete cessato di
far parte, quale Socio Corrispondente, di questo Reale Istituto, in quanto Voi appartenete a razza non ariana”. (Ricevuta dal Regio Istituto Lombardo di Scienze e Lettere.)
(All'Istituto di Matematica di Bologna, dopo le leggi razziali, fu tolta l'intitolazione a Pincherle, che pure era stato fascista).
Gli rimasero onori e cariche organizzative all'estero, ovviamente. Anche nella penisola: alla sua morte, fu commemorato in Italia dalla sola (extraterritoriale) Pontificia Accademia delle Scienze, di cui era stato invitato a far parte sin dal 1936. Alla fine della sua vita, Volterra veniva riconosciuto dal solo Stato della Chiesa, in cui era nato tanti anni prima cittadino con diritti dimezzati.
Nel 1944, un ufficiale tedesco si recò a casa sua per tradurlo in un campo di sterminio; ma Volterra era morto, ottantenne, già nel 1940.

L'Unità d'Italia in un personaggio: Vito Volterra I

Con la sua lunga vita di uomo, scienziato e figura politica e istituzionale, Vito Volterra (Ancona, 3 maggio 1860 – Roma, 11 ottobre 1940) rappresenta bene la complessità delle radici nazionali. O meglio (la metafora radici non mi è mai piaciuta, poiché rimanda a dei fantomatici DNA immutabili, nonché all'inevitabile morte della pianta delle cui radici si va parlando), il complesso ecosistema storico e culturale da cui nasce l'Italia di cui si celebra quest'anno il centocinquantesimo anniversario. In particolare, Volterra ben rappresenta i frutti della moderna e illuministica idea di cittadinanza, che in Italia è indissolubilmente legata al processo di unificazione nazionale sotto la dinastia sabauda, prima, e sotto gli articoli della Costituzione Repubblicana dal 1946 in poi.
Vito Volterra nasce nel ghetto ebraico dell'Ancona pontificia, da una famiglia poverissima, ma con parenti di ogni condizione in diverse parti d'Italia e nella stessa città portuale. Ha pochi mesi quando le truppe sabaude conquistano la città, che fa il suo ingresso (plebiscito del 4-5 novembre 1860) nel Regno d'Italia. Per quella anconetana, come per tutte le comunità ebraiche d'Italia, l'ingresso nel nascente stato unitario significa la piena emancipazione:
"La differenza di religione non porta alcuna differenza nel godimento e nell’esercizio dei diritti civili e politici. Sono quindi abolite tutte le interdizioni a cui andavano per lo addietro soggetti gli israeliti e i cristiani acattolici" .
(Dal decreto del primo Regio Commissario per le Marche, Lorenzo Valerio, emanato al momento dell'insediamento in Ancona. Il decreto ci ricorda che, nel 1860, esisteva in Ancona una piccola comunità greco-ortodossa, che, in quanto tale, non godeva di pieni diritti sotto la legge pontificia).
Le limitazioni ai diritti degli ebrei erano state di diverso tipo; alcune erano già state rimosse prima dell'annessione al Regno d'Italia. I famigliari di Vito, comunque, potevano ricordare il tempo in cui gli ebrei erano soggetti al coprifuoco permanente, costretti a rientare entro le mura del ghetto all'imbrunire. Gli ebrei non potevano risiedere, né possedere beni immobili fuori dal ghetto.
Nell'Italia unita tutte le comunità, le etnie, le fedi entravano con pari diritti; ma certo non con pari opportunità, né con gli stessi talenti. Le comunità ebraiche, escluse fin da quando ne avessero memoria dal settore immobiliare (cioè, da quella strutturale propensione a investire gli eventuali risparmi in beni solidi, che oggi assume la forma del "mattone"), avevano per secoli dato in eredità ai figli, in mancanza di palazzi e poderi: estese reti di relazioni parentali (su scala peninsualre, europea, addirittura mediterranea); titoli di studio e competenze professionali (medici, soprattutto); in ogni caso, un buon livello di alfabetizzazione, che era pregiato e posseduto anche dalle più miserabili delle famiglie ebree (forse non credevano che, come dice un importante ministro di oggi, "con la cultura non si mangia"). C'è anche un aspetto religioso, in questo: nell'ebraismo il capofamiglia svolge un ruolo di tipo sacerdotale nelle celebrazioni del Sabato e durante le numerose festività religiose. Per poterle svolgere, deve essere in grado di leggere, possibilmente anche l'ebraico.
L'infanzia e la prima giovinezza di Vito ben testimoniano delle opportunità offerte dal Regno d'Italia a chi si fosse trovato nelle condizioni di coglierle. Uno degli effetti fu che Vito rimase, fino a quando non sentì che i Savoia avevano tradito il patto con gli italiani, un monarchico fervente, acceso e talvolta anche furioso.
Dunque, Volterra rimane orfano di padre all'età di due anni e passa, con la madre, sotto la protezione e col supporto di uno zio, l'ingegnere Edoardo Almagià. Vive a Torino e Firenze, dove studia all'Istituto Tecnico, in cui incontra Antonio Roiti, professore di fisica, che lo aiuterà fino ai primi passi della sua carriera scientifica e universitaria. Lo aiuterà, soprattutto, a resistere alle pressioni della famiglia perché si affretti a terminare gli studi per un posto sicuro di contabile: il giovane Vito, che ha già dato precoci segni di serio interesse per la scienza, è ostinatamente intenzionato fin dai suoi anni di adolescente a proseguire gli studi fino alla laurea.
Per dirla in breve, nel 1878 è iscritto all'Università di Pisa, nel 1879 è ammesso alla Scuola Normale e nel 1883, a un anno dalla laurea, è già Professore di Fisica nella stessa università. Si potrebbe a questo punto approfittare dello spunto per parlare del sistema universitario italiano all'indomani dell'Unità: pochi professori, che si conoscono tutti tra di loro, con cattedre direttamente controllate dal ministero. Il discorso ci porterebbe però troppo lontano. Accontentiamoci di ricordare che, da studente, Volterra partecipò ad una (verbalmente) violenta manifestazione di giovani monarchici, avente come bersaglio i socialisti, forza all'epoca nascente in Italia e in crescita ovunque in Europa. Vito, però, non aveva simpatie né per i socialisti, né per i repubblicani: il debito di riconoscenza degli ebrei emancipati verso la monarchia era diventata, non solo per lui, sincera e giovanilmente irruenta lealtà.
Lo si vide anche quando, nel 1915, un cinquantacinquenne Volterra, matematico di fama mondiale e senatore del Regno, corre ad arruolarsi nel Regio Esercito. Farà la guerra da tecnico e inventore (a lui si deve l'idea di sostituire l'elio all'idrogeno nei dirigibili), ma poi saliva sui palloni lui stesso, per farne prova, a portata di tiro dalle linee austriache.
La Prima Guerra mondiale, in cui l'Italia fu tra i vincitori, segnò nondimeno un'incrinatura nel rapporto tra la monarchia e gli italiani: un'incrinatura forse difficile da scorgere immediatamente, con le celebrazioni della vittoria e nel mezzo dell'epidemia di spagnola; ma del tutto seria, come si sarebbe visto ben presto.